एनसीईआरटी कक्षा 11 गणित अध्याय 12 सीमा और अवकलज नोट्स

कक्षा 11 एक बहुत ही महत्वपूर्ण कक्षा हैं| ये 12th क्लास के लिए आधार का काम करता हैं। कक्षा 12 में मजबूत पकड़ बनाने के लिय कक्षा 11 को मजबूत करना बहुत ही जरूरी हैं। गणित वैसे भी एक रोचक विषय हैं लेकिन काफ़ी बच्चों को इसमें कठिनाई महसूस होती हैं। इसलिय हमने कक्षा 11 गणित अध्याय 12 सीमा और अवकलज नोट्स दिया हैं जो की बोर्ड स्टडी एक्सपर्ट्स द्वारा तैयार किया गया हैं।

जेईई और बोर्ड दोनों एग्जाम के तैयारी के लिए कक्षा 11 गणित अध्याय 12 सीमा और अवकलज नोट्स बहुत ही महत्वपूर्ण हैं। इसमें सीमा और अवकलज अध्याय के सभी कॉन्सेप्ट को विस्तार से समझाया गया हैं जिससे छात्रों को समझने में आसानी हो।

सीमा और अवकलज नोट्स

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अध्याय 11: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय नोट्स
अध्याय 13: सांख्यिकी

नोट्स को बहुत ही अच्छे एवं सुव्यवस्थित ढंग से लिखा गया हैं जिससे छात्र को नोट्स पढ़ने के दौरान कोई कठिनाई न हों। इसका उपयोग छात्र अपने नियमित अध्यन के समय एवं एग्जाम के समय में भी कर सकते हैं।

महत्वपूर्ण तथ्य

फलन की सीमा की अभिधारणा –

जब x के किसी निश्चित मान (माना x=a) के लिए फलन f(x) का मान f(a) किसी अनिश्चित राशि के बराबर प्राप्त होता है तो f(x) का वह सीमान्त मान ज्ञात कर लेते हैं जो उसके वास्तविक मान के अत्यन्त निकट हो। इस सीमान्त मान को ही फलन f(x) की सीमा कहते हैं।

फलन की सीमा – स्वतन्त्र चर x का मान दाएँ अथवा बाएँ से दिये हुए मान x=a की ओर अग्रसर होकर जैसे-जैसे इसके निकट आता है, वैसे-वैसे फलन f(x) का मान एक निश्चित राशि L की ओर अग्रसर होता है, तब यह निश्चित राशि L फलन की सीमा कहलाती है।

सीमा सम्बन्धी मुख्य नियम –

∙प्रत्येक फलन की केवल एक सीमा होती है।\bullet \text{प्रत्येक फलन की केवल एक सीमा होती है।}
∙यदि f(x)=k, जहाँ k कोई अचर है, तब\bullet \text{यदि } f(x) = k \text{, जहाँ } k \text{ कोई अचर है, तब}
limx→a⁡f(x)=limx→a⁡(k)=k\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a}(k) = k
∙limx→a⁡[f(x)+k]=limx→a⁡f(x)+k\bullet \lim_{x \to a}[f(x) + k] = \lim_{x \to a} f(x) + k
∙limx→a⁡k⋅f(x)=k⋅[limx→a⁡f(x)]\bullet \lim_{x \to a} k \cdot f(x) = k \cdot \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right]
∙limx→a⁡[f(x)+g(x)]=[limx→a⁡f(x)]+[limx→a⁡g(x)]\bullet \lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] + \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]
∙limx→a⁡[f(x)−g(x)]=[limx→a⁡f(x)]−[limx→a⁡g(x)]\bullet \lim_{x \to a} [f(x) – g(x)] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] – \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]
∙limx→a⁡[f(x)⋅g(x)]=[limx→a⁡f(x)]⋅[limx→a⁡g(x)]\bullet \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] \cdot \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]
∙limx→a⁡f(x)g(x)=limx→a⁡f(x)limx→a⁡g(x)\bullet \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}
प्रश्न 𝟏- limz→1⁡z13−1z16−1\text{\textbf{प्रश्न 1- }} \lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}} – 1}{z^{\frac{1}{6}} – 1}
हल – limz→1⁡z13−1z16−1=limz→1⁡(z16)2−(1)2z16−1=limz→1⁡(z16+1)(z16−1)(z16−1)\text{\textbf{हल – }} \lim_{z \to 1} \frac{z^{\frac{1}{3}} – 1}{z^{\frac{1}{6}} – 1} = \lim_{z \to 1} \frac{(z^{\frac{1}{6}})^2 – (1)^2}{z^{\frac{1}{6}} – 1} = \lim_{z \to 1} \frac{(z^{\frac{1}{6}} + 1)(z^{\frac{1}{6}} – 1)}{(z^{\frac{1}{6}} – 1)}
limz→1⁡(z16+1)=(1)16+1=1+1=2\lim_{z \to 1}(z^{\frac{1}{6}} + 1) = (1)^{\frac{1}{6}} + 1 = 1 + 1 = 2
प्रश्न 𝟐- limx→0⁡sin⁡axsin⁡bx,(a,b≠0)\text{\textbf{प्रश्न 2- }} \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} , (a, b \neq 0)
हल – limx→0⁡sin⁡axsin⁡bx=limx→0⁡ax⋅sin⁡axaxbx⋅sin⁡bxbx=limx→0⁡ab(sin⁡axax)(sin⁡bxbx)\text{\textbf{हल – }} \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{ax \cdot \frac{\sin ax}{ax}}{bx \cdot \frac{\sin bx}{bx}} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{b} \frac{\left( \frac{\sin ax}{ax} \right)}{\left( \frac{\sin bx}{bx} \right)}
=ablimx→0⁡sin⁡axaxlimx→0⁡sin⁡bxbx=ablimax→0⁡sin⁡axaxlimbx→0⁡sin⁡bxbxx→0⇒ax→0 तथा bx→0= \frac{a}{b} \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin bx}{bx}} = \frac{a}{b} \frac{\lim_{ax \to 0} \frac{\sin ax}{ax}}{\lim_{bx \to 0} \frac{\sin bx}{bx}} \qquad x \to 0 \Rightarrow ax \to 0 \text{ तथा } bx \to 0
=ab(11)=ab= \frac{a}{b} \left( \frac{1}{1} \right) = \frac{a}{b}

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