कक्षा 12 गणित अध्याय 7 समाकलन समाधान

बोर्डस्टडि एक्सपेर्ट द्वारा तैयार किया गया कक्षा 12 गणित अध्याय 7 समाकलन समाधान एनसीईआरटी के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार तैयार किया गया है। इसमें उन सभी प्रश्नों के उत्तर दिया गया हैं जो एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 7 में दिया गया हैं|

इस पोस्ट में अध्याय 7 समाकलन के सभी अध्यायों का समाधान सरल एवं आसान भाषा में दिया गया हैं| परीक्षा के समय अन्य किताबों की तुलना में एनसीईआरटी समाधान छात्रो के लिय बहुत ही मददगार साबित होगा। बोर्डस्टडि पर आपको कक्षा 12 से संबधित और भी अध्ययन समाग्री मिल जायगी।

समाकलन समाधान

अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग
अध्याय 8 : समाकलनों के अनुप्रयोग

अध्याय को अच्छे से समझने के लिय अध्याय मे दिय गय सभी प्रश्नों एवं अतिरिक्त प्रश्नों का अभ्यास बहुत जरूरी हैं। पिछले वर्ष का प्रश्न पत्र हल करना भी एक्जाम की तैयारी मे काफी मददगार साबित होता हैं।

एनसीईआरटी अध्याय 7 समाकलन के महत्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न x tan-1 x.

हल :

xtan1xdx=(tan1x)xdx\int x \tan^{-1} x \, dx = \int (\tan^{-1} x) \cdot x \, dx

खण्डशः समाकलन करने पर,

=(tan1x)xdx(ddxtan1xxdx)dx= (\tan^{-1} x) \int x \, dx – \int \left( \frac{d}{dx} \tan^{-1} x \int x \, dx \right) dx
=(tan1x)x2211+x2x22dx= (\tan^{-1} x) \frac{x^2}{2} – \int \frac{1}{1 + x^2} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx
=x22tan1x12x2+11x2+1dx= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x – \frac{1}{2} \int \frac{x^2 + 1 – 1}{x^2 + 1} \, dx
=x22tan1x12(11x2+1)dx= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x – \frac{1}{2} \int \left( 1 – \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx
=x22tan1x12dx+1211+x2dx= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x – \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx
=x22tan1x12x+12tan1x+C.= \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x – \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C.
image 105

हल :

ex(1+sinx1+cosx)dx=ex(1+2sinx2cosx2)2cos2x2dx\int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx = \int \frac{e^x \left( 1 + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \right)}{2\cos^2\frac{x}{2}} \, dx
=ex(12sec2x2+tanx2)dx= \int e^x \left( \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} + \tan\frac{x}{2} \right) dx
=extanx2dx+12exsec2x2dx(i)= \int e^x \tan\frac{x}{2} \, dx + \frac{1}{2}\int e^x \sec^2\frac{x}{2} \, dx \quad \dots (i)

खण्डशः समाकलन करने पर,

tanx2exdx=(tanx2)ex12sec2x2exdx\therefore \int \tan\frac{x}{2} \cdot e^x \, dx = \left( \tan\frac{x}{2} \right) \cdot e^x – \int \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} \cdot e^x \, dx
=extanx212sec2x2exdx= e^x \tan\frac{x}{2} – \frac{1}{2}\int \sec^2\frac{x}{2} \cdot e^x \, dx

यह मान समीकरण (i) में रखने पर

=extanx212sec2x2exdx+12exsec2x2dx= e^x \tan\frac{x}{2} – \frac{1}{2}\int \sec^2\frac{x}{2} \cdot e^x \, dx + \frac{1}{2}\int e^x \cdot \sec^2\frac{x}{2} \, dx
=extanx2+C.= e^x \tan\frac{x}{2} + C.

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