कक्षा 12 गणित अध्याय 3 आव्यूह समाधान पीडीएफ़

बोर्डस्टडि एक्सपेर्ट द्वारा तैयार किया गया कक्षा 12 गणित अध्याय 3 आव्यूह समाधान एनसीईआरटी के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार तैयार किया गया है। इसमें उन सभी प्रश्नों के उत्तर दिया गया हैं जो एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 3 में दिया गया हैं|

इस पोस्ट में अध्याय 3 आव्यूह के सभी अध्यायों का समाधान सरल एवं आसान भाषा में दिया गया हैं| परीक्षा के समय अन्य किताबों की तुलना में एनसीईआरटी समाधान छात्रो के लिय बहुत ही मददगार साबित होगा। बोर्डस्टडि पर आपको कक्षा 12 से संबधित और भी अध्ययन समाग्री मिल जायगी।

आव्यूह समाधान

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अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन समाधान
अध्याय 4 : सारणिक

अध्याय को अच्छे से समझने के लिय अध्याय मे दिय गय सभी प्रश्नों एवं अतिरिक्त प्रश्नों का अभ्यास बहुत जरूरी हैं। पिछले वर्ष का प्रश्न पत्र हल करना भी एक्जाम की तैयारी मे काफी मददगार साबित होता हैं।

एनसीईआरटी अध्याय 3 आव्यूह के महत्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न 𝟏. मान लीजिए A=[2amp;43amp;2],B=[1amp;3−2amp;5],C=[−2amp;53amp;4], तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए।\textbf{प्रश्न 1.} \text{ मान लीजिए } A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} , C = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} , \text{ तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए।}
amp;(i) A+Bamp;(ii) A−Bamp;(iii) 3A−Camp;(iv) ABamp;(v) BA\begin{aligned} &\text{(i) } A + B \\ &\text{(ii) } A – B \\ &\text{(iii) } 3A – C \\ &\text{(iv) } AB \\ &\text{(v) } BA \end{aligned}

हल

(𝐢) A+Bamp;=[2amp;43amp;2]+[1amp;3−2amp;5]=[2+1amp;4+33+(−2)amp;2+5]=[3amp;71amp;7](𝐢𝐢) A−Bamp;=[2amp;43amp;2]−[1amp;3−2amp;5]=[2−1amp;4−33−(−2)amp;2−5]=[1amp;15amp;−3](𝐢𝐢𝐢) 3A−Camp;=3[2amp;43amp;2]−[−2amp;53amp;4]=[6amp;129amp;6]−[−2amp;53amp;4]amp;=[6−(−2)amp;12−59−3amp;6−4]=[8amp;76amp;2]\begin{aligned} \textbf{(i) } A + B &= \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 \\ 3 + (-2) & 2 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} \\[1em] \textbf{(ii) } A – B &= \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 – 1 & 4 – 3 \\ 3 – (-2) & 2 – 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \\[1em] \textbf{(iii) } 3A – C &= 3 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 6 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 – (-2) & 12 – 5 \\ 9 – 3 & 6 – 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}
(𝐢𝐯) ABamp;=[2amp;43amp;2][1amp;3−2amp;5]=[2×1+4×(−2)amp;2×3+4×53×1+2×(−2)amp;3×3+2×5]=[−6amp;26−1amp;19](𝐯) BAamp;=[1amp;3−2amp;5][2amp;43amp;2]=[1×2+3×3amp;1×4+3×2(−2)×2+5×3amp;(−2)×4+5×2]amp;=[11amp;1011amp;2]\begin{aligned} \textbf{(iv) } AB &= \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 1 + 4 \times (-2) & 2 \times 3 + 4 \times 5 \\ 3 \times 1 + 2 \times (-2) & 3 \times 3 + 2 \times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \\[1.5em] \textbf{(v) } BA &= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 2 + 3 \times 3 & 1 \times 4 + 3 \times 2 \\ (-2) \times 2 + 5 \times 3 & (-2) \times 4 + 5 \times 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 11 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}

प्रश्न x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं

[3x+7amp;5y+1amp;2−3x],[0amp;y−28amp;4]\begin{bmatrix} 3x + 7 & 5 \\ y + 1 & 2 – 3x \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & y – 2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix}
amp;(a) x=−13,y=7amp;(b) ज्ञात करना संभव नहीं हैamp;(c) y=7,x=−23amp;(d) x=−13,y=−23\begin{aligned} &\text{(a) } x = \frac{-1}{3}, y = 7 \\ &\text{(b) } \text{ज्ञात करना संभव नहीं है} \\ &\text{(c) } y = 7, x = \frac{-2}{3} \\ &\text{(d) } x = \frac{-1}{3}, y = \frac{-2}{3} \end{aligned}

यदि दो आव्यूह बराबर हैं, तब उनके संगत अवयव बराबर होते हैं। अतः x तथा y के मान प्राप्त करने के लिए हम अवयवों को बराबर कर समीकरण स्थापित करते हैं और फिर उनको सरल करते हैं।

हल (𝐛) प्रश्नानुसार, [3x+7amp;5y+1amp;2−3x]=[0amp;y−28amp;4]समान आव्यूह की परिभाषा से,\textbf{हल (b)} \text{ प्रश्नानुसार, } \begin{bmatrix} 3x + 7 & 5 \\ y + 1 & 2 – 3x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & y – 2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} \\[1em] \text{समान आव्यूह की परिभाषा से,}
3x+7amp;=0…(i)5amp;=y−2…(ii)y+1amp;=8…(iii)2−3xamp;=4…(iv)\begin{aligned} 3x + 7 &= 0 \quad \dots \text{(i)} \\[1em] 5 &= y – 2 \quad \dots \text{(ii)} \\[1em] y + 1 &= 8 \quad \dots \text{(iii)} \\[1em] 2 – 3x &= 4 \quad \dots \text{(iv)} \end{aligned}

समी (ii) से,

y=7

समी (i) से,

3x+7=0⟹x=−733x + 7 = 0 \implies x = \frac{-7}{3}

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