कक्षा 12 गणित अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन समाधान

बोर्डस्टडि एक्सपेर्ट द्वारा तैयार किया गया कक्षा 12 गणित अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन समाधान एनसीईआरटी के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार तैयार किया गया है। इसमें उन सभी प्रश्नों के उत्तर दिया गया हैं जो एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 2 में दिया गया हैं|

इस पोस्ट में अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के सभी अध्यायों का समाधान सरल एवं आसान भाषा में दिया गया हैं| परीक्षा के समय अन्य किताबों की तुलना में एनसीईआरटी समाधान छात्रो के लिय बहुत ही मददगार साबित होगा। बोर्डस्टडि पर आपको कक्षा 12 से संबधित और भी अध्ययन समाग्री मिल जायगी।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन समाधान

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अध्याय 1: संबंध एवं फलन
अध्याय 3 : आव्यूह

अध्याय को अच्छे से समझने के लिय अध्याय मे दिय गय सभी प्रश्नों एवं अतिरिक्त प्रश्नों का अभ्यास बहुत जरूरी हैं। पिछले वर्ष का प्रश्न पत्र हल करना भी एक्जाम की तैयारी मे काफी मददगार साबित होता हैं।

एनसीईआरटी अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन समाधान पीडीएफ़ के महत्वपूर्ण प्रश्न

प्रश्न . tan−1⁡3−sec−1⁡(−2) का मान बराबर है\textbf{प्रश्न . } \tan^{-1}\sqrt{3} – \sec^{-1}(-2) \text{ का मान बराबर है}
amp;(a) πamp;(b) −π3amp;(c) π3amp;(d) 2π3\begin{aligned} &\text{(a) } \pi \\ &\text{(b) } -\frac{\pi}{3} \\ &\text{(c) } \frac{\pi}{3} \\ &\text{(d) } \frac{2\pi}{3} \end{aligned}
amp;हल मान लीजिए tan−1⁡3=x⟹tan⁡x=3⟹tan⁡x=tan⁡π3amp;⟹x=π3∈(−π2,π2) (मुख्य अंतराल)amp;मान लीजिए sec−1⁡(−2)=y⟹sec⁡y=−2amp;⟹sec⁡y=−sec⁡π3⟹sec⁡y=sec⁡(π−π3)[∵sec⁡(π−θ)=−sec⁡θ]amp;⟹sec⁡y=sec⁡(2π3)amp;⟹y=2π3∈[0,π]−{π2} (मुख्य अंतराल)amp;∴tan−1⁡3−sec−1⁡(−2)=x−y=π3−2π3=−π3\begin{aligned} &\textbf{हल } \text{मान लीजिए } \tan^{-1}\sqrt{3} = x \implies \tan x = \sqrt{3} \implies \tan x = \tan \frac{\pi}{3} \\ &\implies x = \frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \text{ (मुख्य अंतराल)} \\[1.5em] &\text{मान लीजिए } \sec^{-1}(-2) = y \implies \sec y = -2 \\ &\implies \sec y = -\sec \frac{\pi}{3} \implies \sec y = \sec \left(\pi – \frac{\pi}{3}\right) \left[\because \sec(\pi – \theta) = -\sec \theta\right] \\ &\implies \sec y = \sec \left(\frac{2\pi}{3}\right) \\ &\implies y = \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi] – \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \text{ (मुख्य अंतराल)} \\[1.5em] &\therefore \tan^{-1}\sqrt{3} – \sec^{-1}(-2) = x – y = \frac{\pi}{3} – \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} \end{aligned}
प्रश्न 𝟏𝟏. tan−1⁡(1)+cos−1⁡(−12)+sin−1⁡(−12)\textbf{प्रश्न 11. } \tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)

प्रदत्त समीकरण एक मानक सर्वसमिका नहीं है। इसलिए हम

tan−1⁡(1),cos−1⁡(−12),sin−1⁡(−12)\tan^{-1}(1), \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right), \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)

का अलग अलग मान ज्ञात कर सरल करेंगे।

हल मान लीजिए tan−1⁡(1)=x⟹tan⁡x=1=tan⁡π4⟹x=π4\textbf{हल } \text{मान लीजिए } \tan^{-1}(1) = x \implies \tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4}
जहाँ, x का मुख्य मान x∈(−π2,π2) है। ∴tan−1⁡(1)=π4\text{जहाँ, } x \text{ का मुख्य मान } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \text{ है। } \therefore \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
मान लीजिए cos−1⁡(−12)=y⟹cos⁡y=−12=−cos⁡(π3)=cos⁡(π−π3)\text{मान लीजिए } \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = y \implies \cos y = -\frac{1}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi – \frac{\pi}{3}\right)
=cos⁡(2π3)[∵cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ]= \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \quad \left[\because \cos(\pi – \theta) = -\cos\theta\right]
⟹y=2π3, जहाँ y का मुख्य मान y∈[0,π] है।\implies y = \frac{2\pi}{3}, \text{ जहाँ } y \text{ का मुख्य मान } y \in [0, \pi] \text{ है।}
∴cos−1⁡(−12)=2π3\therefore \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}
मान लीजिए sin−1⁡(−12)=z⟹sin⁡z=−12=−sin⁡(π6)=sin⁡(−π6)\text{मान लीजिए } \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = z \implies \sin z = -\frac{1}{2} = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)
⟹z=−π6, जहाँ z का मुख्य मान z∈[−π2,π2] है।\implies z = -\frac{\pi}{6}, \text{ जहाँ } z \text{ का मुख्य मान } z \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \text{ है।}
∴sin−1⁡(−12)=−π6\therefore \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}
∴tan−1⁡(1)+cos−1⁡(−12)+sin−1⁡(−12)=x+y+z=π4+2π3−π6\therefore \tan^{-1}(1) + \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = x + y + z = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{6}
=3π+8π−2π12=9π12=3π4= \frac{3\pi + 8\pi – 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}

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